단조수열의 개념
단조수열은 수열의 항들이 일정한 방향으로 계속해서 증가하거나 감소하는 수열을 말합니다.
단조 증가 수열: 수열 {a_n}이 모든 자연수 n에 대해 a_n ≤ a_(n+1)을 만족하면, 이 수열은 단조 증가(monotone increasing)한다고 합니다. 즉, 각 항이 바로 다음 항보다 작거나 같습니다.
단조 감소 수열: 반대로, 수열 {a_n}이 모든 자연수 n에 대해 a_n ≥ a_(n+1)을 만족하면, 이 수열은 단조 감소(monotone decreasing)한다고 합니다. 즉, 각 항이 바로 다음 항보다 크거나 같습니다.
단조 증가 또는 단조 감소하는 수열을 통틀어 단조수열이라고 부릅니다..
단조수열정리
단조수열정리는 단조수열의 한계값에 대해 다룹니다.
이 정리는 주로 무한 수열에 적용되며, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
정리: 임의의 수열이 단조 증가하며 위로 유계(bounded above)인 경우, 이 수열은 한계값(limit)에 수렴한다. 유사하게, 임의의 수열이 단조 감소하며 아래로 유계(bounded below)인 경우, 이 수열 역시 한계값에 수렴한다.
여기서 "위로 유계"란 수열의 모든 항이 어떤 상수보다 크지 않다는 것을 의미하고, "아래로 유계"란 수열의 모든 항이 어떤 상수보다 작지 않다는 것을 의미합니다.
이 정리는 수열의 수렴성을 판단하는 데 중요하게 사용되며, 실제로 미적분학, 최적화 이론 등 여러 분야에서 응용됩니다.
관련 예제
문제:
수열 {a_n}이 다음과 같이 정의되어 있다: a_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.
이 수열이 단조 증가하며 위로 유계임을 보이고, 단조수열정리를 사용하여 이 수열이 수렴하는지 발산하는지 판단하라.
해설:
먼저, 수열 {a_n}이 단조 증가함을 보이겠습니다. 임의의 자연수 n에 대해,
a_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
그리고,
a_(n+1) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1)
여기서 명확히 a_(n+1) > a_n 이므로 수열은 단조 증가합니다.
다음으로, 이 수열이 위로 유계임을 보이겠습니다. 그런데 이 문제의 경우, 수열 {a_n}은 실제로 위로 유계되지 않습니다. 왜냐하면 1/2, 1/3, 1/4, ... 항들을 더할수록 값은 무한대로 증가하기 때문입니다.
결론:
수열 {a_n}은 단조 증가하지만 위로 유계되지 않습니다. 따라서, 단조수열정리에 따라 이 수열은 무한대로 발산합니다.
이 예제는 단조수열정리를 적용하여 주어진 수열의 한계값을 판단하는 방법을 보여줍니다.
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