[미적분학] 비교판정법 - 급수의 수렴 판정

비교판정법의 개념

비교판정법은 급수의 수렴성을 판별하는 방법 중 하나로, 주어진 급수와 비교할 수 있는 다른 급수를 찾아서 수렴성을 추론하는 기법입니다. 이 방법은 주로 양수 항들로 구성된 급수에서 적용됩니다.

급수 Σaₙ과 Σbₙ이 있을 때, 모든 n에 대해 0 ≤ aₙ ≤ bₙ이면, 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다:

만약 Σbₙ가 수렴한다면, Σaₙ도 수렴합니다.
반면, Σaₙ가 발산한다면, Σbₙ도 발산합니다.
이러한 개념은 복잡한 급수의 수렴성을 다룰 때 매우 유용하며, 어려운 급수를 좀 더 간단한 급수와 비교하여 수렴 여부를 판단하는 데 사용됩니다.

적용 방법

• 비교판정법을 실제로 적용하기 위해서는, 우선 비교할 급수를 찾아야 합니다. 이때, 기본적으로 사용되는 비교 대상은 p-급수 Σ(1/n^p)와 지수 급수 Σ(r^n) 등이 있습니다.
  
  또한, 일반적으로 복잡한 급수가 주어지면 그 급수의 각 항과 비교할 급수의 각 항 사이에 적절한 부등식 관계가 성립하는지 확인합니다. 이를 통해 주어진 급수가 수렴하는지 아닌지를 추론합니다.
  
  예를 들어, 급수 Σ(2 + 1/n^2)에 대해 판단한다면, 이를 p-급수 Σ(1/n^2)와 비교할 수 있습니다. Σ(1/n^2)가 수렴하는 것을 알고 있으므로, Σ(2 + 1/n^2) 역시 수렴합니다.

실전예제

이제 비교판정법을 이용하여 실제 문제를 풀어봅시다.

예제:
급수 Σ(1/(n^2+1))이 수렴하는지 판별하세요.

해설:
이 문제를 해결하기 위해 p-급수 Σ(1/n^2)를 사용해봅시다. Σ(1/n^2)는 p=2일 때 수렴하는 p-급수입니다.

주어진 급수 Σ(1/(n^2+1))의 각 항은 Σ(1/n^2)의 각 항보다 작거나 같습니다(1/(n^2+1) ≤ 1/n^2). 따라서, 비교판정법에 의해 Σ(1/(n^2+1))도 수렴합니다.

결론:
이 예제를 통해 볼 때, 비교판정법은 복잡한 급수의 수렴성을 판별하는데 유용한 도구임을 알 수 있습니다. 이 방법을 숙지하고 다양한 문제에 적용해보는 것이 중요합니다.