절대 수렴의 개념
수열과 급수의 성질을 이해하는 것은 미적분학과 고급 수학에서 중요한 부분입니다. 여기서는 "절대수렴"이라는 개념에 대해 자세히 알아보고, 비판정법을 통해 절대수렴을 판별하는 방법을 살펴보겠습니다. 마지막으로, 실제 예제를 통해 이해를 돕도록 하겠습니다.
절대수렴 이란?
절대수렴은 급수의 한 종류로, 급수의 각 항의 절댓값을 취한 새로운 급수가 수렴할 때 원래의 급수를 절대수렴한다고 말합니다. 즉, 급수 Σaₙ이 주어졌을 때, Σ|aₙ|이 수렴한다면, Σaₙ은 절대수렴합니다.
상대적인 개념: 조건부 수렴
이와 상대적인 개념으로 조건부 수렴(conditional convergence)이 있습니다. 급수가 절대수렴하지 않지만, 원래의 형태로는 수렴하는 경우를 조건부 수렴이라고 합니다.
비판정법과 절대수렴
- 비 판정법 (Ratio Test)
비율 판정법은 주어진 급수 Σaₙ의 수렴성을 판별하기 위해 사용됩니다. 이 판정법은 급수의 연속하는 두 항의 비율에 초점을 맞춥니다.
정확히는, lim (n→∞) |aₙ₊₁ / aₙ| 의 값을 살펴봅니다. 이 값을 L이라 하면,
만약 L < 1이면, 급수 Σaₙ은 절대수렴합니다.
만약 L > 1이면, 급수 Σaₙ은 발산합니다.
L = 1인 경우, 판정법으로는 급수의 수렴성을 결정할 수 없습니다.
관련 예제
예제 문제
급수 Σ( (-1)ⁿ / √n )이 절대수렴인지 판별하라.
해설
비율 판정법을 사용하여 판별해봅시다.
aₙ = (-1)ⁿ / √n 이므로,
|aₙ₊₁ / aₙ| = |(-1)ⁿ⁺¹ / √(n+1) / ((-1)ⁿ / √n)| = √n / √(n+1)
이 때, lim (n→∞) √n / √(n+1) = 1 입니다.
L = 1이므로, 비율 판정법으로는 이 급수의 수렴성을 결정할 수 없습니다. 하지만, 별도로 절댓값을 취한 급수 Σ(1/√n)이 비교 판정법에 의해 발산함을 알 수 있으므로, 원래의 급수도 절대수렴하지 않습니다.
결론
급수 Σ( (-1)ⁿ / √n )은 절대수렴하지 않습니다.
비율 판정법은 급수의 수렴성을 판단하는데 유용한 도구로, 다양한 상황에서 적용할 수 있습니다.
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